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欧拉数 e

如果人生有一个终极追求的话,我想那是真理。

一个人的时间是有限的,而真理似乎在无限远处,探索真理需要一代代人的努力,我们靠近一点,就可以让下一代人的起步更接近一些。这可能也是我们的前辈所想所作,所以我们需要学习前人留下的知识。避免又从原点出发。

知识不是数据库中的数据,一个 copy 指令就可以复制出去,永不消逝。书是媒介,大脑才是载体。人类的信息输入带宽极其有限,远低于大脑的处理能力(如果你能善用他的话)。浪费带宽这种稀缺资源是让人痛心的,故而我爱读书。

心情平静的时候读,神情气爽;烦闷的时候读,调节心境;闲暇的时候读,消磨时光;繁忙的时候读,释放压力。我有睡前读书的习惯。昨晚,天气不热,但似乎楼上楼下的人家都习惯性的开着空调。窗外滴滴嗒嗒的是冷凝管滴水的声音。突然想起李清照的两句词来:枕上诗书闲处好,门前风景雨来佳。

这次枕边放的是一本:《什么是数学 》。

早听说这是一本好书,也买了很久了。总静不下心读。前次顺着翻了前面几章,权当催眠读物了。枯燥归枯燥,但我绝对承认这本书写的相当不错。相比许多数学读物,他已经非常生动了。知识点一环扣一环,遵循严密的逻辑推理,而不是凭空跳出一个结论让你接受。或是想当然的认为你应该受过专业的数学训练,承认一些公认的定理和规则。

什么是数学?数学表达的是对象与对象间的关系,而不探究对象到底是什么。它在公理的基础上演绎,而不讨论公理本身的真假。数学是美妙的,作为人类思维的表达形式,反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理以及对完美境界的追求。

学习掌握数学,可以极大的帮助我们洞察这个世界。数学是一种思维方式,而绝不是解题训练。

当反思为什么我一方面喜爱数学,一方面又觉得满是公式的数学书读起来枯燥无比时。我意识到,虽然逻辑推理演绎是缜密而有趣的,但并非人脑天然的运作方式,这个需要后天的训练。当突如其来的逻辑推理需求超过当时接收者大脑可以承受的压力时,必然会导致疲惫和挫折感。也就是处理能力小于信息输入带宽的表征吧。

我的机械记忆力不太好,从小开始,我就拒绝接受没有弄明白的道理。一知半解的东西在脑海中也总是只能暂时停留。以至于我对数学的掌握只能是熟练运用初等数学,而对高等数学粗通皮毛。记得读大学的时候,我的数学老师是全校最好的老师之一。可惜那个时候沉迷编程,觉得了解一点混过考试就够了,错过了学习高等数学最好的时机。大学毕业后,大部分都忘记了。直到前不久,我能记起并运用的微积分与线性代数知识还都是高中时代自学的。现在还依稀记得大学头两年的高数课,老师讲的其实还是满清晰的,也不是填鸭式教学,悔不该当初不多下点工夫真正理解啊。

发自内心的学习欲望,无论从什么时候开始都不晚。

昨天随便一翻书,居然是微积分章节的第一页。这个巧合让我一直读下去。没想到一发不可收拾,直到天色发白,才恋恋不舍的合上书睡去。这时,已经把这一章读完了。

我想起我的数学观念被启蒙前的一些事情,那个时候刚上小学,父亲工作忙,我主要是母亲带着。上学前她教我识字,计数,画画等,但没有特别教给我系统的科学知识。入学后,除了课本上的东西外,没有人强迫我学习更多东西。我记得那个时候自己老是瞎想,比如远近,轻重这些物理概念。说起距离这个概念,可以说是天生自然的诞生的,不需要人教。因为距离是可以直接比画被直觉感觉到的。但是,面积的概念却很难自发的产生。这个问题曾经困扰过我很久,父亲告诉我,矩形的面积就是长乘宽。我接受这个结论,并承认它的合理性,但内心总觉得别扭。虽然我自己从这个结论推导出更多例如三角形面积公式等,但我对其根源却总是心存芥蒂。

有一次我想知道圆的面积怎么计算,在白纸上画了个圆去问父亲。他并没有直接告诉我答案。现在想想,向一个小孩子解释 Pi 应该不是件容易的事情。我继续自己去想:如果能知道铅笔尖的面积,那么我一点点的将圆涂满,数一下用了多少点,应该可以相当于圆面积吧?父亲看我不停的在纸上戳点,问出我的想法,笑着说,原来我儿子这么小就懂微积分了 :D 当然,向小孩子解释什么是微积分是很困难的。那个时候父亲一定跟我解释过,不然我不可能对这个名词记得这么清晰。但是我也肯定没弄懂。

后来我知道,求面积其实是一种积分(积累微小的分片、我这样理解这个词)的过程。学会抽象思维后,我不再对矩形面积公式介怀。

这些亲身经历的故事告诉我自己,无中生有的构造出新的概念,对于一个没受过数学训练的人不是件容易的事。新的知识一开始应该给人有直观的感受,才容易让人记忆深刻。逻辑、分析、构作,则可以加强这些记忆并接受它们。


其实原本是想谈谈 欧拉数 e 的。跑题太远了,谁让我是在写 blog 呢,无所谓了。

e 是一个很出名的数字,但在大众,远不如 Pi 来的有名。它不够直观,不像 Pi ,可以表示半径为 1 的圆的面积。

有一年校园招聘的时候,面试一个数学系的本科毕业生,我的同事提了个问题:什么是 e ?未能听到满意的答案。

是啊,我们知道科学计算器上总有个按纽上标着 ln ,说明书告诉我们它可以用来取以 e 为底的对数;大多数计算机编程语言的数学库中总会提供一个 exp 函数,用于求 e 的幂;中学老师告诉我们 e 是自然对数的底;e 是 2.718281828459 ……

但是 e 到底是什么?。可为什么要选择这么一个特殊数字命名为 e ?书本上一定讲过、课堂上许多老师也讲过,可还是很多人事后忘记了。我在这里再谈一次不为过。

跟 Pi 一样,e 也可以从几何上给出一个直观的表示。不过这个图形没有圆那么容易画出来。我们需要作 f(x)=1/x 的函数图象,是一个双曲线。在第一象限,从 x=1 到 x=e 之间,曲线和坐标轴之间所夹的面积正好的单位 1 。

这样的几何上的描述对并不够有说服力,因为它只是诸多函数图象中的一个,没有什么特别。下面我们得看看, f(x)=1/x 这个函数的特殊之处。

如果你认可微积分在现代数学中的重要地位,那么就会发现,对多项式求导是研究各种问题的一个重要手段(比如在经典物理学中,研究速度、加速度、距离等之间的关系)。借助初等数学的推理,我们就可以得到对多项式求导的公式(这里就不展开列出了,但是这些推导过程对理解微积分很有帮助,而且仅需要初等数学知识就可以做到): x ^ n 的导数为 n * x ^ (n-1) 。

反过来,x ^ n 就是 x ^ (n+1) / (n+1) 的导数。这种逆运算,被称之为不定积分。

btw, 诚如《什么是数学》书中所述:简单地定义“不定积分”为导数的逆运算,这种做法是把微分过程直接和“积分”这个词结合起来。然后引进作为面积或者和的极限的“定积分”的概念,而不强调这里“积分”这个词指的是完全不同的东西。会大大有碍于学生的真正理解。我个人也是很反感强加的概念:直接定义这种逆运算规则是让人不可接受的。其实这其中隐示的东西,正是牛顿和莱布尼兹为数学做出的杰出贡献。是他们首先把前人已经为积分和微分上做出的工作结合在了一起,思想上做了统一。这里不展开讨论微积分,仅仅只是不想离题太远而已。

当我们考察 x ^ (n+1) / (n+1) ,当 n=-1 时,分母为零,公式将失去意义。那么对 x ^ -1 即 1/x 的积分会引出怎样一种函数,就变的非常有趣了。以下,我们就直接用 ln x 来表示对 1/x 从 1 到 x 的积分。而 ln x 的导数则为 1/x 。

根据微积分中的基本定理(可直观的用初等数学方法证明的定理),我们可以得到若干对数运算的法则。又因为 ln(x) 是 x 的单调连续函数,当 x=1 时值为 0 ,且 x 增大时趋向无穷大,这样,就必定存在一个大于 1 的数,当 x 取此值的时候 ln(x) = 1 。

这个数值就是被欧拉称之为 e 的东西。

当我们考察 y=ln(x) 的反函数、即 x=exp(y) 时,会发现 exp(y) 这个函数的值在 y 为有理数时,和 e ^ y 的值总是一致的。这一点并不难证明。既而很容易得到幂函数的公式 e^a * e ^b = e^(a+b) ,且可证明它对任意有理数或无理数皆成立。

整个研究过程,从对数推导出幂函数,从自然数推导到有理数再到无理数,借助微积分这个工具的帮助,都很容易的走过来。这样的过程,在中学时,老师则是从整数幂 a^n 开始,定义 a^(1/m) 的意义,从而将幂函数推广到有理数集。两种推导方式向比较,中学时我们学过的初等数学的方法就不那么逻辑缜密了。这里面微妙的地方在于,初等数学借助一个想当然的定义跳过了逻辑的断层,而微积分就是来弥补这个裂痕的。虽然微积分的解释得花更多的脑力去理解,但它可以充分让我信服。

在这些讨论中,对数函数和指数函数都是以数 e 为“底”展开的,所以我们也把 e 称之为对数的“自然底”,或是“自然对数的底”。继续把底数 e 推广到任意正数的变换是容易作出的,而 e 则是变换的根本。

e 在其中的地位,好象 1 在自然数中的地位一样。虽然日常我们用 10 进制计数,但 2 进制却只用 0 和 1 ,即无和有两个概念,就衍生出了一切。其余的符号都是冗余。现代计算机广泛应用 2 进制之前,莱布尼兹就已经对二进制推崇倍至。我们可以把 10 进制记数规则看作是 2 进制的一种衍伸,人类选择 10 进制只是因为碰巧生了 10 个指头而已,而 2 进制则是永恒存在的。

最终,由微分法则我们可以得到一个奇妙的结论:以 e 为底的指数函数的导数就是它自身,即自然指数函数与它的导数恒等。这一点,实际上是指数函数所有性质的来源,并且是它在应用上之所以重要的基本原因。


ps.以上的文字并没有涉及具体的推理和证明,那需要相当的篇幅。但我觉得期盼得到高等数学真谛而未入其门的朋友都值得去找出书来读懂。这些过程用初等数学的知识就可以理解。

最后忍不住再提一下“素数定理”。它由高斯发现,并被誉为整个数学中最著名的发现之一。

至今人类未能找出一个产生所有素数的简单公式,也没有找到求前 n 个自然数中所有素数个数的简单公式。但是考察素数在自然数中的分布规律时,却找到了些许规律。

高斯发现,在自然数 n 极大时,n 与 n 之内素数个数的比值,近似等于 ln (n) 。n 越大越接近。不过前者是两个自然数的比值,是一个有理数;而 ln (n) 是一个无理数。两者只会无限接近,而永远不会相等。

素数的分布的平均状态居然可以用对数函数来描述,这太有趣了。两个似乎无关的数学概念在事实上竟有如此紧密的联系,真是让人拍案称奇。

Comments

e 是单位时间内连续增长的极限:
n --> 无穷大: lim (1 + 1 / n)^ n = e

原来这才是源头,别人都是转你的文章啊。
很喜欢,学习了。
我不是学数学的,却也看得津津有味!
很强大!

@nothanks,

x=exp(y) 被定义为 y=ln(x) 的反函数,并不能说明 exp(y) 和 e^y 相等。

这个过程是这样的:

定义 f(x)=1/x 的导数是 ln(x)
再定义 ln(x) 的反函数是 exp(x) 。

exp(x)=e ^ x 是推论的结果,而不是定义。

当我们考察 y=ln(x) 的反函数、即 x=exp(y) 时,会发现 exp(y) 这个函数的值在 y 为有理数时,和 e ^ y 的值总是一致的

这句话是什么意思?exp(y)不就是e^y么?

"lnX的底就是e" 这个是结论,切不要本末倒置。

娘诶,你从1/X的积分推出了e,而1/X的积分是lnX,lnX的底就是e,你转了一圈诶……

博主看来才30左右呢,不错啊,看出e这个东西真的有些奇异。
是的,那是一个更终极的1。
并且e的真正名字就是“自然常数”

真好!

人肉trackback一把:
一篇关于e和计算机二进制的文章
http://www.2maomao.com/blog/chinese-vs-english-2-vs-10/

明天将要使用同事不知道从哪里找到的“高斯”模块来计算有效率。我只是用,我不懂那些学数学的硕士博士搞些什么,不过我只是程序员,他们是学数学、学金融的。

真羡慕你的意境!我对计算机也非常喜欢,现在也在做分析设计,但生活的压力让我觉得很烦躁,如今的工作也让人感觉没意思的很,很想马上就辞职......反思自己,拥抱广阔的天空。
到你这坐坐真好,可以获得片刻的宁静。
期待将来也有那一天,可以像你一样的学习和研究。

云风大哥没想到我们是校友啊,看来工大出来的达人还是挺多的.
现在我也进入了游戏行业,可以说是你的后辈.但是我远远没有你那么幸运,小时候没有条件,没接触过计算机.高考又屡次失利,最后还读了我不怎么喜欢的化工专业,但是我对游戏追求一直就没有放弃.在邻近毕业的前期,我在做毕设之余自学计算机知识和C++语言,花了两个月的时间通过了高程考试. 毕业后又自己琢磨着做了一个游戏demo,靠着这个混进了游戏米果,总算一只脚踏进了这个行业.
虽然我目前是程序员,但是梦想是当一个游戏制作人,做出一个具有很深厚的文化内涵的游戏.目前国产游戏的文化承载能力严重不足,相对而言,网易是做的最好的.至于金山,个人感觉是有其形缺其神.
有机会的话一定去投奔你啊!

呵呵 为什么面试时没人问我e是什么啊?
我数学学得不好,但是数学史学的不错。要问我e的起源,我可以讲上一个小时呢。这本R.布朗的 数学是什么 是我高中最喜欢的科普书了。

西方数学的最大功能是用来计算.而要计算,首先要将其分解成逐个"单位".在数学里,有许许多多的分法,比如平面的角,可以分成360份,称为"度",也可以分成2PI份,称为弧度.
然而用在计算机里的时候是不是直接套用按公式计算就行呢?计算机是二分的,我觉得它应该有自己的一套处理方法.不应该太依赖以往学的数学.

世间一切事物都是“无常”,所以你的文章的第一句话是不成立的!

这造型拗得。。

辛钦的《数学分析八讲》不错,写得相当有趣,尤其是第一章。最好的是,这书不是很厚:)

sorry, 是云风:)

非常羡慕云飞这种生活状态,能活的这么潇洒

云风,一至在看你的blog,真的很不错,什么时候写一篇文章分享一下,你是怎么做到生活中的心平气和的

像我这种人,也许只有遁入空门才能有心思研究这些问题了。

楼下说话好奇怪,似乎是白话运动的遗老:D

数学,莫明其妙的有一点喜欢,在程序里,往往算复杂度,效率用上他,往往还得找出这个复杂度的函数来,往往又难,但找出来了,才知道只是这么回事,真气人的事,往往自己去做别的事,不知不觉的,就架上这个,往往就觉得自己脑袋是不是有问题了

素数定理确实很奇妙……但是那个所谓的初等证明,其实也需要大量的分析知识。如果说初等,只是相对而言,比起那些用了复变函数的证明好一点。高深工具的结果就是证明简洁,初等一些证明就很复杂。
看到lz对e的解说,虽然整天同这个东西打交道倒还没有这样深入的认识,受益不少。

虽然上学的时候数学成绩一直名列前茅,但如果要我去看纯粹的数学书,我恐怖不会去看了。可能楼主兴趣广泛吧。看过楼主几篇文章以及一些东西,楼主你很棒,我是一个刚走入社会的毕业生,这对我很有用。

...“素数定理”本身也就罢了...让人更加拍案称奇的地方还在于...它被爱多士等人用初等证明搞定了...

请看看罗素写的西方哲学史,里面就有关于数学的精彩演绎。

恰好最近也买了本数学方面的书,<数学爵士乐>,虽然这本书只能算是科普读物,没有什么严密的推导,但是他讲的知识点那是相当地直观.读起来也蛮有趣的.

@小李,

云风已经超越了考虑房子车子的阶段,所以可以考虑考虑这些问题

想想那些前辈高人就让人产生景仰感,同时还有强烈的不满,为什么我看到这些基本定义就只能明白定义,不能熟练掌握各种应用和推导方法?为什么我看到从未有经验的各种古怪证明就没有思路?而有些人,总是有,他们总能解决新问题?他们感觉敏锐,思维深邃,抽象而严谨,为什么我这么钝?同时,我还相信,有些人,很早以前就是那个样子了,是学不来的,只能模仿。

云风, 你好. 既然你已经不用再为了后半生的生活而工作了, 那么, 你可以利用自己的条件做一些纯学术的研究.

高斯, 莱布尼茨等等人生前受贵族的资助, 所以可以安心的研究. 我觉得你现在的条件和他们差不多, 你受到网易的资助(正确地说这是你的工作报酬).

你可以多写游戏开发方面的理论知识, 和广大的游戏开发爱好者共享. 我也希望你在软件开发或者硬件方面给我们提供更多的学术知识.

我的意思是, 如果云风你做系统的学术研究, 以你现在的条件是非常有利的.

ideawu

好文。有空买来看看。

好文

当读书的时候,时间的脚步感觉会慢下来,思深而境远。

真是好,云风你是怎么做到这么心平气和的?

数学是一门很有趣的学科..

我大学就是学数学专业的..

云风,你的博客都成了我逃避现实生活的所在了,现在身边的人大多不是房子就是结婚或者找其他什么来攀比,只有你这里还会讨论讨论这种问题,不容易啊

心情平静的时候读,神情气爽;烦闷的时候读,调节心境;闲暇的时候读,消磨时光;繁忙的时候读,释放压力。

是啊,说的好;但是在苦闷的时候不能心平气和的去读书,这个就自己来说还做不到。

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