云风的 BLOG: 三维空间直线方程是什么？

昨天吃夜宵的时候跟同事瞎聊，问道三维空间直线方程是什么？

既然平面直线方程是一个二元一次方程，那么三维空间的直线方程就是一个三元一次方程？马上，我就否认了这个答案。明摆着，三元一次方程描述的是一个三维空间的平面。

吃完牛肉面回家躺在床上才想明白，原来三维空间中的直线是用两个二元一次方程联立来描述的。真是汗，不知对面那个中学里的弟弟妹妹知道我们为这么基础的问题苦思不得其解，会作何感想。

千万不要让我那敬爱的中学数学老师知道，我差点把那点解析几何知识都还给她老人家了。真是惭愧啊。

刚才在网上查了一下，找到这么一篇：平面与空间直线

说是三维空间直线的一般式是两个三元一次方程联立，即两个空间平面方程联立得到。我个人觉得不太对劲，我觉得两个二元一次方程联立已经足够描述空间的直线了。

即：

a X + b Y + c = 0
d X + e Z + f = 0

Comments

空间直线方程可以这样表达：一直向上一点M和与直线平行的向量n，设P是直线上任一点。则直线方程可表示为：向量OP=向量OM+向量N*t(t为常数)。

Posted by: Anonymous | (18) November 14, 2013 02:49 PM

哈哈。。
我只记得一种表示方式了~
两个平面方程相交就确定了三维空间的一条直线。

Posted by: chinchou | (17) June 20, 2012 08:17 PM

很好的总结（英文的）

http://cs.fit.edu/~wds/classes/cse5255/thesis/lineEqn/lineEqn.html

Posted by: Anonymous | (16) July 6, 2011 04:38 AM

浣曞槜涓嶅彲鐢ㄥ弮鏁稿紡琛ㄧず锛�
鐩寸窔閬�(a,b,c)锛屽悜閲忕偤(x,y,z)
X = a + tx
Y = b + ty
Z = c + tZ

Posted by: Seanpow | (15) November 1, 2009 05:48 PM

三维空间直线应该是3个二元一次方程组成的方程组，每个二元一次方程表示这条三维直线在三个平面上的映射

Posted by: Luckysym | (14) September 30, 2009 01:09 PM

博主，请问四维空间中的平面和直线，各用什么方程表示呢？

Posted by: Anonymous | (13) September 25, 2008 11:36 AM

确实，任何一条直线都可以是两个分别平行于y轴和z轴的平面的交线

Posted by: houhou | (12) April 17, 2007 03:43 PM

呵呵，换成极坐标玩玩。

Posted by: VictorLue | (11) January 30, 2007 10:56 PM

楼上的道出了本质所在。

Posted by: Leo | (10) December 31, 2006 01:59 PM

如果两个平面平行的话，那么这两个平面的方程是相关的（系数成比例），要么无解，要么解构成一个平面（重合的情况）。
空间的直线方程一般是三元一次方程组，即方程组中一共出现三个未知数x、y、z。如果某个未知数没有出现，那么直线要么不存在，要么平行于坐标轴。例如x=2, y=3在平面上是一个点，而在空间中是一条平行于z轴的直线。
其实可以这样想，三维空间需要3个独立的未知数来表示。如果三个未知数满足某个方程，那么说明其中某个未知数可以根据另外两个算出来，它不是独立的。那么这个方程的解就构成了一个面（面是二维的，其上的点只需要两个独立坐标就能确定）。如果再加一个方程（与前面方程不相关）作为限制条件，构成三元方程组，那么维数（通常）又减小1，就变成线了，线是一维的，其上的点只需要一个未知数就能确定。所以直线的参数方程只有一个变量。如果再加一个方程，维数再减1，零维就只有一个点了。

Posted by: Solstice | (9) December 29, 2006 10:14 AM

2P是可以确定一直线，但是不能根据一直线确定2P，三维中的直线方程一般表示应该取x/x'=y/y'=z/z'=w

Posted by: lj | (8) December 28, 2006 12:09 PM

呵呵，经久不用，有所遗忘也是难免的。

不过从这事情看来，云风这段时间没有学习研究3D计算机图形学吧？

Posted by: shinco | (7) December 27, 2006 12:55 PM

a X + b Y + c = 0
d X + e Z + f = 0
与
a X + b Y + cZ = g
d X + e Z + fZ = h

本来就都是三元一次方程组，形式不一样，本质一样，可以相互转化。。。

Posted by: hehe | (6) December 27, 2006 12:56 AM

这是一个三元一次方程组，也是两个二元一次方程。云风说得也不错啊。^O^
不过一般用标准三元一次方程组的形式，我认为是为了计算方便，因为那就可以转为标准的矩阵运算。

Posted by: 猛禽 | (5) December 26, 2006 10:53 PM

虽然我还是学生,但前一阵子也还是为向量分解头痛了一番,hehe.