云风的 BLOG: 飞机能不能起飞

晚上看到这么一篇 blog ，Airplane-Treadmill问题：这架飞机能起飞吗？

一开始简单想了下，结论也是可以起飞，单做受力分析就可以得到这个结论。但是老是有些问题想不明白，传送带到底对飞机造成怎样的影响的？显然有传送带和静止的路面，情况是很有可能有差别的。结果又持续想了几个小时，终于得到如下的结论：

这个问题的关键在于，在飞机运动时，传送带作用于飞机的轮子（向后）的力来至于摩擦力。这个力只跟摩擦系数有关，跟传送带的速度无关。

为什么这个题目有可能引起误解呢，是因为“传送带以同样的速度朝相反方向滑动”这句话。表面上看起来，这会导致飞机相对空气的速度为零。但是让飞机相对空气速度为零却还需要另一个条件：~~轮子不打滑。也就是说轮子要牢牢的咬住传送带~~ (修正：这个条件是轮子非自由转动)，这样当“传送带以同样的速度朝相反方向滑动”时，飞机才会静止于空气不动。

~~可惜的是，轮子不打滑是几乎不可能的。~~

若想让飞机不向前运动，就需要传送带提供的摩擦力抵消掉空气的推力。但是摩擦力基本只跟摩擦系数相关（飞机的重力一定）。这和传送带的速度无关。

以下补充：在猛禽的Blog 上也讨论了这个问题：搞什么飞机他那里回复不上，只好写在自己这里：

猛禽认为：“不过云风的解释还是不是正确的。即使把飞机轮子换成齿轮，传送带换成链条，飞机仍然可以起飞。”

我认为，如果是理想的齿轮和链条组，飞机就不能起飞了。

在任何一个瞬间，齿轮向前滚动一个齿，因为题目假设条件是“传送带以同样的速度朝相反方向滑动”。这个条件中速度应该指的是"链条"相对地面的线速度等同于“齿轮”轮廓的线速度。那么，这个时候，链条会向后“带动整个系统”移动一个齿位。

换成一个理想的齿轮/链条装置后，其实是让传送带可以作用于飞机极大的向后的力，足以抵消掉空气的推力，所以就不能起飞了。可是靠传送带的摩擦力却做不到这点。

我写前篇的主要想法是，如果题目条件满足，轮子和传送带之间发生滑动是必然的，这样才能最好的解释飞机不能起飞的错觉。

跑步机的问题是可这样解释，如果人向前移动了，那么就不满足“跑步机相对人速度相同的条件了。可能穿上旱冰鞋就，改由人来拉更恰当一些。其实人向前运动时，冰鞋是向前滑，而不是滚的。

这样，飞机在这种假象传送带上，起飞的难度会大于普通地面。因为普通地面上它受到的是滚动摩擦，而在这种跑道上，不仅受到滚动摩擦，还有额外的滑动摩擦。

再补充：我错了，因为轮子可以自由旋转。所以以上分析不成立 :D 继续写程序去了。

Comments

这个问题，我觉得题目本身就建立在一种假象状态下，有些必要的条件都是理想状态提供的，比较难讨论。那么我们开始假设。刚开始，飞机轮子外径是1m，轮子以1圈/s匀速转动，那么，传送带要以1m/s匀速转动。传送带匀速运动的话不需要作用力，飞机轮子匀速转动也不需要作用力。把他们拿开和放在一起应该没什么区别吧？我们又开始假设，飞机发动机开始动了，飞机轮子以每秒增加1转开始加速，那么，传送带的加速又是谁同步的呢？那么就会出现两种情况。1：假设传送带完全是靠自身提供的动力以1m/s的数度加速。那么传送带和飞机之间就没有摩擦力。当分开的飞机和传送带合上时，理想状态下应该没有什么特别的受力吧？ 2，假设传送带的加速度是飞机轮的摩擦力和自身来提供的，必须是摩擦力-自身动力的和除带的质量等于1m/s而飞机引擎的动力-摩擦力提供的能量能保持1圈/s的加速。然而传送带调整的动力和飞机的能量来源与统一，这一点很模糊。而且都是理想化条件，所以这个题目本身就是有一定缺陷的。

Posted by: 林春华 | (36) May 7, 2009 05:59 PM

想想一下下面的两个case,就知道能不能起飞了: 1. 如果传输送带的摩擦系数为0, 那么飞机就会轮子狂转, 而传送带以同样的速率陪它傻转. 这种情况和伐木工锯木头的电锯狂转没两样, 你见过伐木工的电锯能飞的吗?(或者开动之后就减轻了重量的吗)? 2. 当飞机在空中飞的时候, 你见过它的轮子会转的吗? 但为什么飞机能时而飞得快, 时而飞的慢呢? 所以飞机能否飞行和轮子是否能转没关系, 它依赖的是喷气动力在飞机上部产生的压力真空, 导致产生了向上的支撑力, 同时喷气向后产生的推力造成飞机向前飞.

Posted by: koko.119 | (35) February 14, 2008 08:19 PM

噢,我爱飞机

Posted by: 碌碌 | (34) May 3, 2007 06:17 PM

肯定飞不起来，大家要看清题目，也要正确理解假设假设有一架飞机，停靠在一个传送带。传送带足够宽、足够长。飞机的滚轮开始滚动，而传送带以同样的速度朝相反方向滑动。那么，这架飞机能起飞吗？为什么大家有争论，其实还是有人对，“飞机的滚轮开始滚动，而传送带以同样的速度朝相反方向滑动”没有真确理解，这个假设实际上就是规定了，飞机滚轮的边缘线速和传送带的水平传动（或是说滑动）速度是反向一致，而其它理解必然是错的，因为，如果大家都按自己的假设或什么物理定理去思考，那就不是这个假设了，而且假设就有很多种了，比如，滚轮的转动方向，根本没有说，滚轮如果是倒转呢，飞机能够起飞？如果是在真空条件下呢也能起飞？所以，都按自己的想法假设就是公说公有理，婆说婆有理了，这只能按题目的假设正确理解，自己不能添油加醋的，这才会得到正确的答案，飞机滚轮的边缘线速和传送带的水平传动（或是说滑动）速度是反向一致，因而飞机与地面的速度永远为0，机翼无法和空气产生相对运动，飞机就不能起飞！这个就是唯一的正确答案！！！！！！！

Posted by: blue2snow | (33) January 13, 2007 02:37 AM

云风，你去写个程序来模拟一下看能不能起飞。

Posted by: Leo | (32) December 31, 2006 02:23 PM

看了云风的这个帖子以及很多人的讨论我突然对我的智商充满了无比的自信

Posted by: 哈哈 | (31) December 21, 2006 05:22 PM

呵呵，真想不到会有这么多长篇大论来讨论这个问题，而且最终结论居然是可以起飞（没有每篇都看，但云风的结论似乎也是可以起飞？）飞机起飞是靠机翼和空气的相对速度产生升力的，而引擎的作用是使飞机产生和空气的相对速度(比如200km/h)。除非飞机在一个大风洞里，否则飞机必定有一个对地面的相对速度才能起飞，这一点就和传送带保证和轮子线速度相同这个前提相悖（实际上这个只是理论上的可能，因为需要要用轮子的滚动摩擦和引擎强大的推力相平衡，这是不可能的）结论是不能起飞，否则航母就不用修那么长跑道给飞机起飞了，搞个小传送带岂不是很经济？本来不想参与这种讨论，但又不想承认自己已经老了。

Posted by: ZERO | (30) December 20, 2006 08:15 PM

认为飞机能起飞觉得飞机轮胎轴承内部的摩擦力要考虑进去

Posted by: Ninstein | (29) December 19, 2006 12:34 PM

哇哈哈~~~~~~ .....场面甚是壮观！...嘻嘻~~~ (忍不住了) 上千年前，历史上有几个聪明人为了能象鸟儿一样飞，费尽了心思要在地面上蹦跶，为的是能在“空气”中飞翔，但他们被看作"疯子". 恩,我记性差，是不是高中物理没学好?

Posted by: 路过的^0^ | (28) December 18, 2006 09:14 PM

如果飞机相对于地面是静止的，那么他无论如何也是飞不起来的（离开地面），我认为

Posted by: Siney | (27) December 18, 2006 02:52 PM

仔细想想我认为条件“传送带以同样的速度朝相反方向滑动”难以实现，或者说根本是错误的，它带来的只是飞机轮子的超高速转动，没有任何用处，和在地面上是一样的。如果是说把飞机在水平方向固定，则认为可以起飞。

Posted by: yuzhong | (26) December 17, 2006 10:09 PM

Posted by: yuzhong | (25) December 17, 2006 10:07 PM

简单点说,能够起飞,事实胜于雄辩. 复杂点说,你们知识还不够,讨论起来和两小儿辨日没两样! 总的说来,训练思维可以找比较合适的话题.搞飞机死多少人你们知道不,尽管他们专业知识比我们强很多.

Posted by: 都是文盲,装什么有文化 | (24) December 17, 2006 01:27 AM

楼下的楼下忽视了一点，既然你已经假设传送带的阻力足够小，则证明你已经默认为传送带所提供的阻力是滑动摩擦力，滑动摩擦力的大小f=n·u，与两物体相对运动的速率v'无关，也就是说就算你传送带光速运动，对于我飞机来说，你就是那么个提供一丁点向后的力的地面，我飞不飞得起来，只看我功率多大，我的最高速度（注意是相对地面，也可以说是相对于空气，假设空气相对地面静止）多高，只要功率足够大，速度就足够高，一定能飞起来。这道题，只要一旦承认了动力来源于涡轮发动机，则再也没有讨论的需要，除非再加一条传送带与轮子不会出现相对滑动的假设（等于可以忽视轮子与传送带，直接把飞机和地面上把锁，自然不能起飞）。小弟的想法是：如果动力来源于轮子，只要传送带控制得足够精确，总能让飞机处于静止；如果动力来源于涡轮而其功率足够大，并且传送带与轮子可发生滑动摩擦（摩擦系数u有最大值），则飞机总能起飞；如果动力来自于涡轮而传送带与轮子无滑动摩擦（u无限大），设飞机相对于地面有了一点点的速度，必定会引起其轮子“转速”（轮子各处线速率的平均值）的提升，于是控制系统将加快传送带的运动，相当于给传送带增加一动力，此动力的一部分会通过传送带传导到飞机之上成为飞机的新增阻力，阻止其继续前进，飞机速度越快，则新增阻力越大，并最终让系统回到最初的状态上，即飞机相对地面静止，则飞机无法起飞。

Posted by: 小小涡 | (23) December 17, 2006 01:07 AM

这个...我...完全不在行...

Posted by: 荒唐君 | (22) December 16, 2006 11:03 PM

突然想明白了，很多人认为飞机飞得起来是因为发动机向后喷气，会使得飞机产生相对于空气的运动，与传送带和轮胎无关，所以飞机一定飞得起来。这是个错觉，而且是这个题最诡异的地方。发动机向后喷气，最终效果是给飞机一个向前的推力，这个推力来自于喷出的气体和相对静止的空气的速度差。飞机能否飞得起来，全看有没有能够克服阻力的推力来使飞机动起来，这个推力怎么来的无关紧要。举个例子：在一辆法拉利上安装上小型飞机的翅膀，只要这辆法拉利跑得够快，它就能飞起来。如果把这辆法拉利放到那个超级传送带上去，你还认为它能飞起来？有人说这跟飞机不一样，飞机有喷气发动机，在这里轮胎是阻力，而在汽车上轮胎是动力。那你就又上当了，物体能否运动全看力是否平衡。有人说轮胎不重要，想想看汽车在地面上没有人推它，汽车是怎么跑起来的。另外一个错觉来自于错误的理解参照物及相对运动，究其根源仍然是那个倒霉的喷气发动机。这个错觉认为喷气发动机向后喷气，就一定能都导致与空气之间的相对运动。我用手推玩具飞机照样能够造成相对于空气的相对运动。在有摩擦力的情况下，只有对飞机造成摩擦力的物体才有资格作为飞机的运动分析参照物。最后举的极端的例子：假设传送带静止，飞机的发动机也没有发动，我让一个HULK用绳子拖着飞机以每小时500公里的速度飞奔，没有怀疑飞机能离开地面；可是要是传送带以同样的速度反方向运动，飞机还能飞得起来吗？如果你还在纠缠喷气发动机，记住喷气发动机的原理是利用喷出的气体和空气的速度差来给发动机以推力，这个推力并不代表一定能够造成发动机与空气之间的相对运动。只要你承认飞机在传送带上运动时传送带会给飞机造成阻力（不管多么小），根据功率=速度x推力，只要给定功率，那末飞机在传送带上的速度就是有限的（不管多快）。只要传送带运动的足够快，飞机就会相对地面静止。

Posted by: dpff | (21) December 15, 2006 11:17 PM

其实，飞机已经“起飞”了，只不过是相对于传送带而言。发动机在做功，飞机肯定要动，这毫无疑问，只不过这个动是相对于传送带而言；飞机相对于传送带已经获得了速度，动量已经守恒；只要传送带运动的足够快，就能够将飞机相对地面保持静止。

Posted by: dpff | (20) December 15, 2006 10:27 PM

哈，的确，跟轮子没啥关系。我错了，上面已经修正。

Posted by: Cloud | (19) December 15, 2006 06:03 PM

飞机的起飞和轮子没有太大的关系！！否则在起飞后轮子基本受不到任何可用摩擦力了飞机还有何动力可言

Posted by: foxer | (18) December 15, 2006 02:06 PM

我在思考这个问题时，假定没有讲出的条件都是一般情况下默认的情况，例如飞机无故障，油箱已加满等等。三个容易引起歧义的问题，暂时可以作如下假设：因为题目只是假设了一条可以运动的传送带，所以我认为传送带的表面特征等同于普通飞机跑道。传送带的速度参照系是指地面。轮子，是指它的角速度，和通过角速度换算出的线速度。考虑质心参照某物的线速度是不符合常理的。（一般提到轮子都会说是转速多少，而只有对汽车飞机本身才会说线速度）这里最有争议的是轮子的速度的定义，但是这又是最无关紧要的。我想这个问题从受力分析来讲，是毫无争议的。因为我们只需要分析飞机在水平方向的力就可以了。如果飞机的向前的力保持为正，理论上迟早是要起飞的。那么，飞机向前的动力是空气的反作用力，这个跟平常情况相同。而阻力是空气阻力（和一般情况也相同），以及地面的阻力。这个问题中，唯一有区别的只是地面阻力的问题而已。只要我们假设把飞机的轮子的转轴锁定起来，把飞机放在普通跑道上。这样要是可以起飞，那么放在这种传送带上就可以起飞。因为，飞机获得和地面的相对速度全部源于相对传送带的滑动。我写这篇主要是想解释，传送带造成的错觉是怎样产生，并且会有怎样的影响而已。楼下的说飞机飞不起来的，应该仔细考虑下汽车为什么可以跑这个问题了 :D 我想，汽车到了速度极限后，速度上不去跟地面摩擦的关系要小的多。主要还是空气阻力和机械的内部摩擦消耗了。如果你在速度极限后又加上空气推力器，那么汽车的轮子将变成从动轮，机械内部的摩擦力被忽略，汽车将得到进一步加速。

Posted by: Cloud | (17) December 15, 2006 01:37 PM

这架飞机飞不起来的。举个例子：一辆使用喷气发动机的汽车在地面上行驶，不计空气阻力，只考虑轮胎与地面的摩擦力，不管发动机的功率如何大，这辆汽车能够达到的最大速度是有限的；把这辆汽车放到一条以这个最大速度运行的传送带上去，汽车是不可能与地面产生向前的相对运动的。飞机同理。只要轮胎跟传送带之间有摩擦力，那么飞机跟传送带之间的相对运动就会有个速度极限；只要传送带以相同的速度反方向运动，飞机就会跟地面保持静止。至于说发动机在后面做着功，既然飞机相对地面没有动，这功跑到哪里去了？答案是这功转化为速度了，是飞机与传送带之间的速度。谁让你用轮胎把飞机和传送带拴到一起了！发动机的功率用来克服轮胎和传送带之间的摩擦，并产生它们之间的相对运动。如果轮胎和传送带之间摩擦力为零，那末就解除了飞机和传送带之间的相对关系，那末飞机可以飞起来。但是只要你承认轮胎跟传送带之间有摩擦，只要承认飞机跟传送带之间的相对运动的速度是有限的，只要传送带转得够快，这架飞机就飞不起来。

Posted by: dpff | (16) December 15, 2006 03:00 AM

顺着云风这里看了一下网上关于这个问题的讨论，看来很多人在知识的全面性方面有待大大加强啊，既然是从这里看到这个问题的，就把正确答案写在这里吧。正确答案是：这个问题的条件没有讲清楚，飞机有可能可以起飞也可能不可以起飞。要把答案完全解释清楚可能需要很多篇幅，这里简单说明一下。没有讲清楚的条件有3个： 1。轮子和传送带运动速度的参照系是什么？ 2。轮子速度指的是质心（一般是轴承处）速度，还是指轮子与传送带接触点的速度。 3。传送带的表面特性是什么？这个表面是否理想到可以提供这样大的外力，以至于它足以平衡掉飞机发动机的推力？这样就出现了8种排列组合。这其中至少有一种组合是飞机肯定可以起飞的，那就是轮子速度指的是质心对地速度，也就是飞机的对地速度，飞机有了对地速度当然是顺利起飞了。还有一种组合是飞机肯定不可以起飞的，那就是轮子速度指的是质心对传送带速度，这种情况质心对地速度为0，也就是飞机对地速度为0，原地不动，当然也就绝不可能起飞了。不过，要满足这种速度假设，隐含了必须满足传送带表面与轮子作用提供的外力可以平衡飞机发动机推力这一假设，既然是以假设为前提作推导，那么这种假设也没什么不对的。其他的几种排列组合没有隐含传送带表面外力必须平衡发动机外力这种假设，所以给定可以平衡，飞机就不可以起飞，反之则可以起飞。这里就不详细分析了。正确答案就这样了，不知是谁出的这个问题，把几个似是而非的问题混在一起，也不知是他自己搞不懂，还是故意搞笑。

Posted by: Anonymous | (15) December 14, 2006 10:37 PM

我又更新了一篇： http://www.we8log.com/pivot/entry.php?id=39 最简单的类比是这样的：假设一个人脚踩轮滑站在跑步机上，这个跑步机有一对扶手，扶手上也有传送带，这个人用双手支撑在扶手的传送带上，如果这时扶手的传送带向前走，而跑步机上的传送带以相同的速度向后，这时这个人会怎么样？当然是向前移动，只是轮滑的转速加倍，而人是不会是静止的。

Posted by: 猛禽 | (14) December 14, 2006 09:39 PM

补充一下：如果把所有的实际情况都考虑进去的话，我认为飞机还是可以前进的，但速度要比在平地的情况下慢不是一点点，需要的动力要更大，所以要在这种传送带上起飞要比在平地上起飞来得更难。吃饱了撑着，无聊啊。

Posted by: 不要吵 | (13) December 14, 2006 08:14 PM

飞机起飞的原理大家应该都知道：机翼上下的气流流动速度不同造成了气压差，飞机向前移动时，机翼上方的气流速度>机翼下方的气流速度，这使得机翼下方向上的气压>机翼上方向下的气压，（理想情况下）当这个气压差>飞机所受的重力时，这才使飞机脱离地面。我不知道如果这飞机在这样的传送带上起飞，单靠这么一点或是理想情况下的没有相对周围空气的速度，飞机考什么离地？再问个问题：机翼下方的涡轮机是干嘛的？助推的吗？

Posted by: 不要吵 | (12) December 14, 2006 08:01 PM

云风把简单问题复杂化了，滑动摩擦力和空气推力两者毫无关系。选地面为参照系，传送带和轮子之间没有滑动的条件是：传送带线速度＝飞机前进速度＋轮子相对飞机的线速度。因为飞机前进动力由涡轮发动机提供，所以飞机前进速度和轮子线速度没有关系，轮子可以任意速度转动，传送带是由控制系统控制速度，这个速度等于飞机前进速度＋轮子相对飞机的线速度，因此，飞机能不能飞起来跟轮子速度和传送带没有任何关系。

Posted by: analyst | (11) December 14, 2006 05:47 PM

注意看题目中的这一句，“飞机的滚轮开始滚动，而传送带以同样的速度朝相反方向滑动” 主语是“飞机的滚轮，不是飞机” 所以你的任何理解不能基于飞机。而且飞机的速度没有参照物，怎么算？（滚轮的速度是可以计算的，只依赖它的角速度和半径） “另一种理解：飞机相对传送带速度为v，传送带相对地面速度为-v。” 这样假设是可以的，这样假设就把飞机和传送带看成一个系统。飞机显然会因为空气推力产生加速度，传送带作为系统的主体，按题目条件也会产生一个反向的加速度。可是问题在于这个反向的加速度不可能全部作用于系统的整体（飞机+传送带）。因为摩擦力没那么大。在作出“飞机相对传送带速度为v，传送带相对地面速度为-v。”这个假设时，实际暗含了另一个假设“飞机和传送带间的滑动摩擦力大到可以和空气的推动力相抗衡”，否则系统无法保持。

Posted by: Cloud | (10) December 14, 2006 02:42 PM

http://www.hecaitou.com/?p=1181#comment-7040 那就是这个题目没有讲清楚条件 “飞机的滚轮开始滚动，而传送带以同样的速度朝相反方向滑动”——这句话有两种理解：第一种是说飞机相对地面（通常做物理题时都是以地面为参考系）速度为v，传送带相对地面速度为-v。这样飞机是可以起飞的。另一种理解：飞机相对传送带速度为v，传送带相对地面速度为-v。飞机相对空气速度为0。不能起飞。我觉得按照习惯，人们更多的是倾向于后一种理解

Posted by: iunknown | (9) December 14, 2006 02:08 PM

涡轮发动机是题目的隐含条件，不需要说明 :) 就如飞机的油已经加满，轮胎没有爆掉，这些条件一样。

Posted by: Cloud | (8) December 14, 2006 01:52 PM

假设有一架飞机，停靠在一个传送带。传送带足够宽、足够长。飞机的滚轮开始滚动，而传送带以同样的速度朝相反方向滑动。那么，这架飞机能起飞吗？这个问题里面没有提到涡轮发动机.

Posted by: bing | (7) December 14, 2006 01:42 PM

玻璃围棋子的题目是炒现饭了，我在前几年的某编程比赛试题中见过 :) 2 个棋子的时候适合心算，不过我见过的题目是 m 层楼，n 个棋子，用程序求最佳策略。

Posted by: Cloud | (6) December 14, 2006 01:16 PM

飞机的动力来自于涡轮发动机，轮子是不提供前进动力的。也就是说飞机轮子是从动轮，只提供阻力不提供动力。飞机相对与空气的前进速度跟轮子的滚动速度和传送带的速度都无关。所以飞机可以起飞。

Posted by: analyst | (5) December 14, 2006 11:19 AM

我觉得这个问题有误。飞机不可能在传送带上相对地面静止，因为没有可能提供足够的阻力

Posted by: Atry | (4) December 14, 2006 11:19 AM

cloud认为飞机能起飞是因为它最终和空气产生相对速度的原因么?如果相对速度为0是不会起飞的对吗?