云风的 BLOG: 10 连抽保底的概率模型

网游里有很多抽卡、开箱子之类的赌性玩法，在最开始，游戏设计者实现的时候，仅仅给这些抽取概率简单的设置了一个值。比如抽卡抽出橙卡的概率是 10% ，那么就是说，玩家每次抽一张卡，有 90% 的可能是白卡，10% 的可能是橙卡。

但大 R 玩家是大爷，需要小心伺候。如果感受不好，人跑了就亏大了。概率这个东西靠改进伪随机数发生器是解决不了体验问题的，大爷要是连抽 20 张都出不来橙卡，那是要怒删游戏的。

连抽 20 张 10% 概率橙卡一张都抽不到的机会多不？一张抽不中的概率是 0.9 ，20 张都抽不中的概率是 0.9 ^20 = 12.2% 。这可不算小数字啊。平均 8 个大 R 就会碰到一次，一下子赶跑了 1/8 的金主，这个责任小策划可担当不起。

所以、一般网游都会用各种规则来避免玩家出现连抽不中的尴尬。例如，我忘记是谁发明的 10 连抽规则：如果你购买一个大包连抽 10 次，我在规则上就保证里面一定至少有一张橙卡。实现它应该并不困难，按常规概率生成 10 张的卡包，如果里面没有橙卡，那么我加一张即可。

但如果我想把 10 抽保底的规则惠及日常抽卡的玩家该怎么做呢？

就是说，我希望任何玩家任何时候，接连抽了 10 张卡，我都想保证这 10 张卡里至少有一张橙卡。

首先，要说明的一点：如果你同时想保证橙卡掉落率是 10% ，也就是在极大范围内，比如系统投放了一万张卡片中，其中要有一千张橙卡。那么同时保证每 10 张卡里有至少一张橙卡的话，结果一定是完全不随机的，也就是必须每抽 9 张白卡，必出一张橙卡。

所以、如果即想要随机（出橙卡的概率稳定），又想有 10 张出一张的保底，那么橙卡投放量是一定超过 1/10 的。

我们之前的游戏用了个很粗暴的方案：记录玩家已经连续几次没有抽中，如果连续次数超过 9 ，就必给他一张橙卡。为什么我说这个方案粗暴，因为它其实破坏了抽卡的自然体验。虽然玩家的确更高兴了，但是概率却很不自然。不自然的方案（其实是生硬的打了个补丁）实现起来还容易出错，我们前段时间就因为实现 bug 多发放了很多稀有物品，这个 bug 就不展开说了。

下面来看看，为什么这么做不自然。

假设橙卡的掉率是 10% ，那么你在获得一张橙卡后，再抽下一张橙卡的概率就是 0.1 。下一张是白卡，再下一张是橙卡的概率是 0.9 * 0.1 ，下两张是白卡，第三张是橙卡的概率是 0.9^2 * 0.1 ……

后续有 10 张及 10 张以上的概率总共有多少呢？我算了一下，大约是 35% 左右。

我们把抽到两张橙卡之间会抽取到的白卡张数排成一个数列的话，这个数列的值的范围是 0 到正无穷。是的，非洲酋长可能永远抽不到橙卡。当然这只是理论值。

如果你读过大学，学的是理工科，没有逃课的话，就应该知道，这个数列是大致符合指数分布的。指数分布正是用来表示独立随机事件发生的时间间隔的。

当我们把这个数列中大于 9 的数字都强行改成 9 ，那么 9 的出现频率就陡然跳变，这是极不自然的。（分布不平滑）

从一致分布的随机数，转换为指数分布的随机数非常简单。如果你懒得自己推导，那么可以在爆栈网上找到公式。

让我们回答前面的问题，如果我希望获得一个大约每 10 张卡里出一张橙卡的随机数列，除了每次 random 一个 [0,10) 的整数，判断证书是不是 0 以外，还有一个方法。那就是每次抽到一个橙卡后，都从一个指数分布的随机数列中取一个值出来，作为接下来会抽取到白卡的张数。按这个张数去发放白卡，等计数器减到 0 ，就发一张橙卡给玩家。这个白卡张数的数值范围是 [0, inf) 。

用 lua 实现的话，大概是这样的：

math.floor(math.log(1-math.random()) * (-rate)) 其中 rate = 10 。

好了，如果我们想加上 10 张保底，又想让间隔大致符合指数分布怎么办？简单：

function erand(rate)
    while true do
        local p = math.floor(math.log(1-math.random()) * (-rate))
        if p < rate then
            return p
        end
    end
end

让产生出来的数字小于 10 的时候重来一次就好了。如果你担心这里死循环（实际并不会），也可以加上循环上限：

function erand(rate)
    for i = 1, 100 do  -- 100 可以随便写
        local p = math.floor(math.log(1-math.random()) * (-rate))
        if p < rate then
            return p
        end
    end
    return rate-1
end

当然，一旦加上了 10 张保底，单张出橙卡的概率就大大增加了，增加到多少呢？大约是 21%。如果你希望保持 10% 左右的投放率，那么保底张数大约应该设置在 23 张左右。

ps. 今天在公司群里讨论这个问题时，雷先生提了这么一个问题，说是可以用来做数值策划的面试题：

已知橙卡的抽取率是 10% ，抽一次卡是 1 块钱；而 10 连抽的包可以帮你按同样概率连抽 10 次，但如果没有抽到橙卡的话，系统会补偿一张橙卡给你，换掉 10 张白卡中的一张。

假设白色一文不值，只有橙卡值钱。

那么请问：这个 10 连抽的包到底价值多少？

Comments

没什么好争的，2个答案都是对的，只是出题的人没有说清楚条件罢了。 1.每次十连一次结算，多次十连间互不影响 p＝1╱10，q＝9╱10，n＝10 十连出货 E＝np+1×(9╱10)^10≈1.35 十连价值=1.35*10=13.5 2.多次十连间相互影响，保证两次橙色卡间白卡数小于9 十连出货次数 p（i）为第i次出货的概率 E＝1*p（1）+2*p（2）+......+10*p（10）≈6.5 十连价值=(1*10)*（10/6.5）≈15.4 ps:这种问题我还见过更奇葩的，十连出货率为10%，第十次不出有保底，最后问十连价值，开始以为听错了，一再确认后发现这10%还真是十连，不是单抽，这。。。。。。

Posted by: 马牧南山 | (32) November 19, 2020 05:43 PM

单抽=1元=10%*橙卡保底=90%^10=34.8%*橙卡价值=保底/单抽=3.48元

Posted by: colin | (31) April 27, 2020 11:23 AM

准初一新生微弱作答最后一题中，并没有给出单张橙卡实际价值，但我们依然需要先算出10次抽奖平均能得到多少张橙卡。注意一点，题目允许玩家10连抽不止得1张橙卡，只是10次都没得到的情况下才送1张橙卡住：COMBIN(x,y)是EXCEL里组合函数公式，代表x次中取y次的情况，下文表示10次里选N次中构建10次保底的分布律(中1-10次)。只中1次有些特殊，概率为全都不中（保底情况）+正常中一次=0.9^10+COMBIN(10,1)×0.9^9×0.1；中N次的概率为COMBIN(10,N)×0.9^(10-N)×0.1^N 上述分布律期望计算约为1.35，即10连抽平均可得1.35张橙卡，答案也即1.35张橙卡的价值；我通过EXCEL的VBA进行了验证，按题目所述形式实验后的概率符合上述结果；另外有人提到单人参与和群体参与时概率分布不一样，就题目而言我个人认为没有抽水、限量、库存等设计形式下，1.35张橙卡价值绝对是标准答案最后，橙卡的人民币价值，个人认为是围绕业务性质、公司规则下的一个开放式答案： 1.以用户保值角度出发，10连抽消费10元，则1.35×单卡价值=10，得单张橙卡价值为￥7.4 2.以公司盈利角度出发，10连抽盈利10元，分x∈[0,1]的比例给玩家，则1.35×单卡价值=10×x 按上文的来算，有答案是10连抽价值13.5元则公司亏3.5元、15.4元则公司亏5.4元；假设抛出研发成本、税费等取x=0.5，则单卡价值3.7元因此，若奖品为虚拟物品，则可从保值或溢价的角度计算价值，毕竟兑换不了真钱，你说这个物品价值1000元都行（大家都懂很多广告里那些价值X元的套餐吧？）、若奖品为实物奖品，则价值应偏向于第2点（若不计成本只为品牌宣传等复杂情况不作讨论了，此题仅从日常盈利的角度思考）

Posted by: Xagorz | (30) August 6, 2019 07:22 PM

1. 通俗点讲是如果我前10次没有抽上，会给我一个橙卡。如果我抽上了那就不保底了。。而前10次的价值是1张橙卡。所以总共就一张橙卡的价值。。 2. 公式是 pow(0.9, 10) * 1张橙卡 + （1-pow(0.9 ，10)） * ((0.1 * 1张橙卡）* 10）所以最后的价值是 1 张橙卡

Posted by: kk | (29) January 22, 2019 05:15 PM

1. 通俗点讲是如果我前10次没有抽上，会给我一个橙卡。如果我抽上了那就不保底了。。而前10次的价值是1张橙卡。所以总共就一张橙卡的价值。。 2. 公式是 (1-pow(0.9, 10)) * 1张橙卡 + pow(0.9 * 10) * ((0.1 * 1张橙卡）* 10）所以最后的价值是 1 张橙卡

Posted by: kk | (28) January 22, 2019 05:13 PM

文末的题实际橙卡期望E约等于 6.5 所以价值(1*10)*（10/6.5）≈15.4 应届数值，欢迎讨论

Posted by: 韩毛毛 | (27) October 10, 2018 10:46 PM

对于我来说一文不值~

Posted by: aka | (26) July 23, 2018 05:38 PM

网易的阴阳师完了一年多，ssr抽卡概率百分之一，满级60级，52级第一个ssr,也就是之前300多抽没有ssr，非酋的计算重置，然后直到我第599抽出了第二个ssr，600抽无ssr最高非酋奖励的，百分之一的概率599抽才抽到，然后我就退游了，很好奇阴阳师的抽卡规则，虽然说没有保底才有肯能达成成就，但是这中途必定会流失大部分玩家

Posted by: 阴阳师非洲大酋长 | (25) June 28, 2018 10:33 AM

这个卡包价值不就是10块吗？

Posted by: yolk | (24) March 8, 2018 09:02 PM

不要为自己不想花精力学数学找借口 :D 这跟我现在程序写不好，但是我转管理就能做好一个意思。我不需要学心理学，因为我能洞悉人的心理；我智商不高，但是我情商高啊。

Posted by: Cloud | (23) February 26, 2018 08:34 PM

1、数值策划要保证的是最终体验结果好，而不是数学能力有多强。从数值策划的角度来考虑，我会考虑除了有保底以外，是否还有保高（惩橙卡投放总量是否限制），是针对单玩家设置保高，还是一个范围内的保高。更极致点的甚至是给玩家打标签（比如付费额度），不同规则对不同群体的人生效，种种规则下来才能得到一个价格。 2、从体验来说，是否允许玩家十连能出多张橙卡的规则很关键，这会影响到开奖方式的展现，换言之是是否希望对于抽奖有期待感，还是当成明码标价来买东西。如果不允许，那么那么对于玩家来说就是你在直接卖东西给他，十连一定有一张橙卡，他根本也不关心是第几张出的橙，即使一张出橙，那么他也知道剩下的绝对不会有橙了，根本没期待感，体验也不会好。这个前提下，设计什么分布都没有用，玩家感受肯定是不好的。如果你允许玩家10连出多张橙卡，那么相应的十连就应该是一张一张翻卡的过程，因为对于玩家来说每次翻牌都有可能出橙卡。程序应该先按标准流程后端走一遍抽奖，如果玩家没有抽中，就塞给他一张，随机插入在10张牌的任一顺序内，这样玩家也不会觉得保底每次都是最后一张，像是安排好的一样。 3、最后这个题目只能说是验证一个数值策划的数学能力。在开发当中，策划应该是先定价值，然后反推投放方式，倒过来的话单纯只能考验策划的数学能力而不是数值能力。（PS，这问题我不会，高数连补了四年，大四才补考合格）

Posted by: 蝈蝈 | (22) February 26, 2018 08:11 PM

我很好奇,这个数值为什么大家写的那么复杂首先如果是10%抽取, 那么每次抽取都会有概率获得价值X块钱的橙卡或者损失1块钱抽卡成本然后就很容易理解了既然有保底橙卡,那么我们可以理解为这个10连抽是10块钱代价去拿到最少1张X元钱的橙卡而从没有保底的概率判断,如果是每次90%都拿不到橙卡的话,连续十次拿不到的概率是0.348 那么换言之这个保底行为价值10元*0.348 然后单抽成本本身价值10块钱那么这个礼包价格最低可以设计成10+3.48元,大概13.5是一个"保值"价格(从等价交易原则来看) 如果从玩家角度,你10连抽给不给保底我不管,而且大多游戏都是给保底的(如同潜规则一样) 那么10次抽奖礼包=10块钱,每次花1块钱抽奖,你为了鼓励消费,来了个10元抽奖保底原则那么实际价值就该是10块钱啊... 在学习数值的菜鸡留言如果有正确答案请给我一个参考一下,诸君写了一堆数值一堆算式,可是我感觉除了阳光宅男的说法,其他诸位除了展示自己数学水平,根本没有任何用啊......

Posted by: yige819 | (21) December 21, 2017 05:55 AM

试着做一下最后那道题： 1,10连抽正常概率下，大概35%会不出橙卡，剩下65%会出橙卡（这部分和保底无关） 2，即系统有35%的概率多发一张橙卡 3，例如：我们抽了100次10连抽，共100次，则总共会抽出135张橙卡，一张橙卡的价值是10元，则十连抽的包的价值为13.5元欢迎讨论~~~

Posted by: 阳光宅男 | (20) August 13, 2017 04:03 PM

对于10连抽这个问题首先你确定服务器给的概率是对的吗，如果只有一个人在抽，那没有问题，随机分布的比较均匀，如果多个人在抽，有人抽走了橙卡，另外的人概率就会变了。所以每个人有自己的随机种子，每个人都有自己的随机分布，这样可以保证0.35的期望，而不会遇到有的人运气超好，把把橙卡，有的人运气特别背，永远抽不出来。然后最后一把补一张橙卡，这是有问题的，失去赌博的随机性，橙卡是事先补好的，最后一把补，意味着与前面9把的概率不一样了，要做到每一把的概率都一样，事先就补好，随到10把都没有橙卡，就会有一张补进去，那怎么事先知道呢，因为有随机种子，就能事先算出来。那出橙卡的那一次就可以不在最后一次里面，正真做到1.35期望，也就解答了最后到底值多钱。按你的做法虽然值1.35，但是不是均匀分布在10连抽中的

Posted by: lional1987 | (19) August 3, 2017 05:23 PM

很尴尬。。算错了，然后想错了。。

Posted by: 味辣鸡 | (18) March 16, 2017 05:44 PM

随着抽卡的次数增多，玩家的收益其实是边际效益递减的。抽1次卡橙卡的期望值是0.1张抽2次卡橙卡的期望值是0.19张抽3次卡橙卡的期望值是0.282张所以金钱并不和橙卡的数量直接挂钩，而是和出橙卡的概率直接挂钩，借用楼上的期望1.348 ，我们要找到的是抽N次卡橙卡的期望值是1.348 其中N的数值，而不能直接由一次抽卡的期望直接换算

Posted by: 味辣鸡 | (17) March 16, 2017 05:03 PM

原来概率p1 = 10% 保底概率p2 = 0.9^10 ≈ 35% 橙卡概率p = p1 + p2 = 45% 所求价值v = 10 * p = 4.5￥

Posted by: 陈冠希 | (16) March 15, 2017 11:24 AM

前提：10%是真概率十连抽的保底期望是抽到1.3486784401张橙卡。 10%的单抽概率抽到橙卡，单抽一次一块钱，推出橙卡价格是10块钱。那样十连抽的价值就是13.5块，但是实际出售价格应该还是设置为10块吧。

Posted by: pengdu | (15) February 18, 2017 02:23 PM

如果要抽n次掉落1个装备的话，根据war3掉金币的算法是：第一次掉落概率：k 第二次掉落概率：2k 第三次掉落概率：3k …… 算一下期望就是： k * 1 + (1 - k) * 2k * 2 + (1 - k) * (1 - 2k) * 3k * 3 + ... = n 可以策划去配置这个n，然后程序二分k的数值把k算出来以n = 10为例，k = 0.014746 抽第一次的概率是：1.4746% 第二次：2.9492% 第三次：4.4238% 第四次：5.8984% 第五次：7.373% 第六次：8.8476% 第七次：10.3222% 第八次：11.7968% 第九次：13.2714% 第十次：14.746% 结合实际应用来看，再加上一点特殊处理： 1，如果前九次不中，第十次必中 2，如果前面有中的，后面一定不中以上适用于单次单次的抽，可以给用户一个较好的体验。如果是十连抽的话，可以有更简单的实现方式了。

Posted by: pengdu | (14) February 18, 2017 01:50 PM

我闻到了一丝坏味道。

Posted by: startwing | (13) February 17, 2017 09:37 AM

1*0.1^1*0.9^9+ 2*0.1^2*0.9^8+ 3*0.1^3*0.9^7+ ... +9*0.1^9*0.9^1+ 1*0.9^10 不知道对不对……

Posted by: laixintao | (12) February 4, 2017 09:02 AM

保底的几率是0.348左右，答案是1.348吧

Posted by: zhishu | (11) January 21, 2017 12:21 AM

我明白了，你这个相当于先模拟抽，超出23次不中的就扔掉。其实就相当于保底23次。 ps. 指数分布/泊松分布可以由二项分布推导出来，可以说它们描述的是二项分布的另一面（这里用泊松分布可能更符合你的要求，因为是离散的） ps.. 最后那道题，是不是该换一种问法：一张橙卡价值几何

Posted by: tuan | (10) January 17, 2017 06:29 PM

一个小结果，没有保底发放100张卡，有10张橙卡，有保底的就会大概是15张橙卡。假设有100个人每个人都一直抽到橙卡为止会出现oranCard张橙卡 whiteCard张白卡一共oranCard + whiteCard张卡：橙卡：100 白卡：551.3215599 橙卡/(橙卡+白卡)：0.15353399327876 没有保底的话橙卡/(橙卡+白卡)=0.1

Posted by: hawk | (9) January 17, 2017 03:22 PM

想确认下计算方法是不是我假设1000次抽取样本中，10连抽中白卡的概率为31.8%，可以理解为只要设了10连保底，那么就有31.8%的概率出橙卡，同时加上10%本身产出的概率，所以就有41.8%的概率产出橙卡。所以包的价值为0.418乘以橙卡单价。

Posted by: runesnag | (8) January 17, 2017 02:34 PM

@tuan 无论什么方法，都是觉得简单的在保底最后一次硬送过于粗暴，失去了赌性的乐趣。希望对此改进。对于成功率递增的方法，我觉得最终的期望次数一定不是 N 。当然这没有问题。我想如果有问题的话，应该在于先期的成功概率也被降低了。也就是连抽中的惊喜事件频率会比完全独立抽取（最终期望一致的情况下）发生的概率大大降低。从体验角度说，我们不仅要避免大 R 当非洲酋长，也不能减少他们当欧皇的概率。

Posted by: Cloud | (7) January 17, 2017 12:15 PM

∵ 橙卡的概率是10%,抽一次卡是1块钱 ∴ 橙卡值10块且抽10次且没有概率保护，价值就是10块 ∵ 10次不中概率是pow(0.9,10)=0.35 ∴ 0.35的概率额外获得一张橙卡 ∴ 因为概率保护而获得的收益是0.35*10=3.5 ∴ 10 连抽的包值13.5

Posted by: cmingjian | (6) January 17, 2017 11:56 AM

这不是纯数学题么

Posted by: 吃小朋友 | (5) January 17, 2017 10:38 AM

@arnan 应该就是把前面各乘了 1.35 。严格说，间隔本不完全是指数分布，它是离散的。

Posted by: Cloud | (4) January 17, 2017 10:32 AM

招数值吗？这题我会做，我是失业数值……

Posted by: tuan | (3) January 17, 2017 05:34 AM

以前做过类似的，比如装备强化，成功率逐渐升高。第i次的成功率为1/(2*N-i)，则次数期望是N。相当于一个期望是N次的操作，保护2N-1次必定成功，简单明了。

Posted by: tuan | (2) January 17, 2017 01:15 AM

想了想，加上这个while之后其实就不是指数分布了。相当于也是把10之后的35%概率硬砍掉了，只是不是简单的加在9上，感觉是以一个指数分布叠加在另一个指数分布上，变成另一种更复杂的分布。