云风的 BLOG

那么，谁能凭直觉说出，掷 30 次硬币，至少出现一次“连续 7 次正面”的概率有多少？
(30-7+1)*2^(30-7) / 2^30 = 18.75 %

AlphaGo用的蒙特卡罗树中需要随机选择要搜索分支，这时候如果用pseudorandom，效果不如quasirandom好。

赌博最终就是看谁的本钱多，而不是谁的运气更好（骰子大神啊，请不要跟我绝交。谈谈数学而已，莫要当真）。

大家看好这句话就行了。绝对正确的结论。
50%概率公平对赌，双方不到输光不结束。随着赌资差别的增加，赌资雄厚的一方胜利的很快概率接近于1.快的超乎你直觉。所以如果赌徒资金超雄厚，这个赌徒也轻松胜利。

只能说你没遇上高手哈，聪明的赌徒是不会一直翻倍死追的，两三次不中就反过来一追基本杀回来了

赌徒用这个办法发不了财都不是你们在这牵强附会的原因,
而是赌场和赌机都会有下注的上限
也就是说,你翻倍押的话,押到一定额的话,不给你翻倍,
如果不限最高额的话,只要赌徒有足够钱,用脚趾头想都知道肯定要赚钱的(钱不够我从1分钱开始押行不),不信你做一次庄让我来试下,这年头自以为自的太多了

好文。当年没看明白，现在重新看，领会了一些

赌局无限玩下去，必然会把赌本集中在一边而结束。

如果是固定赌本，比如每次 1 块。看 127 这边输光的可能是在一个 01 随机数列里出现连续的 254 次1 (假设他每次都压 0), 而 1000 这边输光的的可能是连续出现 2000 次 0 （且不先出现 127 次 1）。

从概率上计算，就是这个数列先出现 2000 次 0 的可能性和先出现 254 次 1 的可能性之比较。

如果先出现 127 次 1 ，那么少的一方的获胜机会会上升，变成 508 次比 2000 次。

先出现 127 次 1 和 127 次 0 的机会相等。一旦 50% 的概率发生，那么就依此再计算即可。

我估算大家都用这种保守策略的话， 127 这边获胜的可能应该是 1/8 左右。

我觉得要验证的话应该是赢127和输127的概率去比较,如果你非要说我只有127的钱,那完全是策略的问题
如果变成不管输赢每次押1块你试试...真的可以玩很久-_-!
如果真看本钱,我有1000万,每次押注2000,那赢2000庄家的几率岂不是非常非常高?那有钱人都可以组团去赌博了...

现实中输了是因为假如小概率发生连续事件后,按照策略加的话,很难加上去了(就像127的限制),但如果赌本无限大,小概率结束后,又会回到同一起跑线了
我觉得这不是随机性的问题,而是因为我们人为的中断了,从统计的角度说,这已经不是随机样本了,结果肯定有偏差
关于那个游戏的说法,假如我们打武器,可能连续几个垃圾,但同样的可能连续几个极品.假如我们设定随机序列是10个垃圾后10个极品,首先打了10个垃圾,然后出了2个极品后我们就中断了,这结果就是10:2了,肯定是比1:1小

关于127和1000的问题,虽然127很容易输光了,但我觉得从结果来看概率是一样的
因为127要赢光1000是赢了873
1000赢127是赢了127
同样是一局收益1,要赢得多概率肯定会小了,而且从83概率递减下去跟结果17就差不多了

在WOW中 为了改变这种随机性造成的副作用 有一个设定 就是在连续几次MISS之后 下一次必中

@fonix,

如果你不懂概率统计学，可以认真再学学。不过要是不虚心的话，什么都不会真正学明白的。

鉴于你的语气，我想即使我很认真的指出你回复中的错误，你也未必能认真的理解，正如你完全没有理解正文一样。

那么，把我只列数据，从中可以得到结论。

假设，
"就拿个色子和同事玩，你赌123他赌456，假设你有127元，他有1000元，在纸上记录就行了" 赌本为 127 的一方采用赢了下注归为 1 ，输了下局下注加倍的策略。

大家一直玩下去，直到一方输光。（btw, 你不会认为没人会输光吧？）

结果是什么？

下面是一个小程序模拟的结果：

赌本是 127 的一边，胜率是 17% 平均在 2005 局结束游戏。

赌本是 1000 的一边，胜率是 83% 平均在 376 局结束游戏。

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好吧，我们来看看增加赌本的效果，如果另一边赌本增加到 2000 ，会是怎样？

127 的一边，胜率下降到 11% ，大约在 3990 局结束游戏。

2000 的一边，胜率上升到 89% ，平均在 621 局结束游戏。

你这篇文章的分析是错误的。

1. 错在哪里
1.1 你对赌徒的策略表述实际上做了点改变，把一个有限的策略无限化了，导致了一个简单的问题变模糊了
1.2 就你改变表述后的赌徒策略，你建立了错误的数学模型，导致了错误的结果，把本来为0的期望收益策略证明为大负数的期望收益

2. 对于上面两点的详细说明
2.1 赌徒的有限策略是这样的,我的本钱很大，比如127元，从1元开始下注，赢了就收手(理想实验，庄家不带砍人的)，输了加倍下注，这样只要赢一次，我就赢回了所有输的钱还倒转一元。我本钱多，盘盘都输的可能性很小，所以我很大的可能性赢一元，很小的可能性输很多
看清楚上面这段话，一点问题没有，赌徒说的都是事实。并且赌徒的策略并没有改变期望收益为0的事实。这个策略一点也不新鲜，赌徒啥也没赚到。他有127/128的概率赢1元，听起来很不错，但是他有1/128的概率输127元。看出问题了吗？跟买彩票类似，只不过反过来了。赌徒的策略导致大概率赢小钱小概率输大钱，平均期望收益为0。彩票则是极小的概率赢大钱极大的概率输小钱，在彩票发行方不抽头的情况下，平均期望收益也是0

2.2 就你的无限策略来继续讨论，看看你的数学模型和无限策略的差别在哪里
无限策略，本身没有意义，我们假设以1000局为限，赌徒有127元，也就是说赌徒如果输光了就走人，没输光玩到1000局走人。
你关键的错误在于，抓住连续7局失败这一点不放，认为只要1000局中连续7局失败，有127元本钱赌徒就必然输光走了。
但是实际上是，赌徒在一开始是127元本钱，从开局连续7次失败，赌徒才输光，这种概率就是1/128。
也就是赌徒只玩7局就输光的概率是1/128。
如果赌徒没有在开局连输7次，没有输光，玩到第8局了，那么赌徒有多少本钱？
无法回答。里面全是概率了。7局后，既然赌徒没输光，剩下的输赢情况有127种，当然其中很多种情况导致赌徒的剩余资产值是相同的，赌徒的资产值的可能性没有127种这么多。具体有多少，就不浪费时间去考虑了，总之恰好是127元的可能性很小，或者没有。
这里证明了一点，就算在1000局中，连续7次失败的可能性很大(实际上确实很大，接近1了)，可是出现的那连续7次失败开始时，赌徒的资产很可能不是127元，也就是说，赌徒在那次连续7次失败后输光的概率比出现连续7次失败的概率小得多。
这一点就说到这里，还是哪句话，你把问题复杂化了，所以错误不容易看出来。看看我给出的有限赌徒策略，以及相应的期望收益分析，简单明了。

下面给出一般的理论分析

3. 基本定理
二人进行赌博，每单局中各人获胜的概率相等都是50%，那么不论双方各自本钱多少、采用何种下注策略、不论玩多久的时间，双方的期望收益都是0，就是不输不赢。

4. 实际生活中，十赌九输主要因素
庄家抽头、和局算庄家赢、作弊、老手欺负新手、为了期望收益为0的一个活动浪费了大量的时间不工作、赢钱了就高兴乱花，这些才是十赌九输的原因。

5.对基本定理的继续说明
定理其实很显然，凭常识就能肯定。但是为了清晰，下面再细化一下
5.1子定理 - 每局下注多少不影响期望收益
每局，赌徒下注值为x,收益为赢x的概率是50%，收益为-x的概率是50%，加在一起是0。
5.2子定理 - 每局的期望收益是独立的
由5.1子定理，可知每局的期望收益都是0，由5.2可知，不管玩多少局，每局都是0，总期望收益也是0.

总之，如果赌桌这么公平都是50%，那么平均收益就是0.庄家和赌徒这这个理想的赌博环境里没有任何差别。谁也占不了说的便宜。除了色子大神的偏好。

说句题外话，多年没关注你了，看起来你还是老样子，一些细节上很钻，要把事情做到极好，但是可能一上来大方向就偏了。
你在这个赌徒策略的问题犯的错误，像是一个例子吧
本来很简单的问题，先被你复杂化，再建立了错误的模型，再仔细研究这个模型得到了错误的结果。

如果上面说了这么多你还不明白，就拿个色子和同事玩30局吧，你赌123他赌456，假设你有127元，他有1000元，在纸上记录就行了

是我算错了。

这个问题穷举是很浪费计算机时间的，其实用递推很简单。

重新算了一下，在第 44 次，连续出 5 次正面的概率超过 50% ，达到 50.32%

这一题算出来和我一样的，请看一下

http://www.newsmth.net/bbscon.php?bid=943&id=70760

算法如下

def cont_prob(N, K, P):
prob = [0] * ( N + 1)
prob[K] = pow(P, K)
for tn in range(K + 1, N + 1):
prob[tn] = prob[tn-1] + (1-prob[tn-K- 1]) * (1-P) * prob[K]
return prob[N]

“今天我计算了一下，如果是掷硬币实验，连续 21 次中，至少出现 5 次连续正面的概率居然达到了

49.9% 。当次数增加到 30 次后，概率有71.4% 之高。”

今天重新算过，没有那么高

0.262641906738
0.368232618086

用实验和算法都验证过了。

C(N,K)=C(N-1,K)*2+2^(N-K-1)-C(N-K-1,K) 还需要减去重复项

自己回自己的回复一下：

不好意思，我早晨的回帖中
“而我用程序算了一下，从n=10, 20, 21, 30的时候，连续出现5次都是正面的概率其实都是只有10.9375%也是比较高的，但是没有你说的那么高！也不随n的增加而继续增大！”

是错的，因为程序中的一个CHECK值没有随着n的增加而修改，不好意思！误导大家了，程序CHECK修正一下是正确的!的确是随着N的增加，至少连续5次都是正面的概率增加，当N=30时，概率到达36+%；

不过我的穷尽的算法太慢了，算N=30用了90s，楼上santiago给出的概率公式要快多了！

C(N,K)=2*C(N-1,K)+2^(N-K-1)
概率是这样算的么。C(N,K)表示N次中至少连续出现K次的次数。
to 云风：内容都很精彩，看着过瘾

你好，云风！在你的原文中有这样一段话：“今天我计算了一下，如果是掷硬币实验，连续 21 次中，至少出现 5 次连续正面的概率居然达到了

49.9% 。当次数增加到 30 次后，概率有71.4% 之高。”

而我用程序算了一下，从n=10, 20, 21, 30的时候，连续出现5次都是正面的概率其实都是只有10.9375%也是比较高的，但是没有你说的那么高！也不随n的增加而继续增大！

程序主要代码如下：
<pre>
// (n = 20) 1111,1111,1111,1111,1111b // 1M - 1
const unsigned MAX = 0x100000;
// init: 11,1110,0000b = 0x3e0;
// min: 0001,1111 = 0x1f;
unsigned check = 0x3e0;
unsigned total = 0;
for(unsigned n = 0; n < MAX; ++n){
check = 0x3e0;
while( check >= 0x1f ){
if( check == ( n & check ) ){
++total;
break;
}
check >>= 1;
}
}

printf("total = %d, MAX = %d\n", total, MAX);
printf("probability = %f%%\n", 100 * ( (double)total / MAX ));
</pre>

欢迎大家讨论！

其实最基础的随机算法也为玩家所理解和接受的概率最好采用原始的随机数表好了，只需要定期更新这张随机数表应该对于玩法的表现来说更为稳定，当然这个带来的开销就是内存了。
独立的随机事件应该还是可以接受此方法的。不过需要用到随机数的地方很多，如果都采用一张表又带来了相关性的问题，会使得某些组合的随机事件变得更为奇怪。

k次中连续出现m次正面<br>
k>n*m，n=1，2，3
是否可考虑出现n次连续出现m次正面的情况

您好, 想请教一下， k次连续抛硬币，至少出现m次连续正面的概率，是怎么计算的？ 想了很久没想出来呵呵。

每次到这里都能看到好多好东西.
云风的大脑不是一般的大脑呀.
离上次问问题大概有1年了.
我知道您喜欢玩游戏,能看看我的webgame:61.161.125.7/tc
user:333
pass:333
指教一下吗?

好的伪随机序列，可以在一些简单运算下保持还是较好的分布，取模一般是一种，可以写个程序测试下分布的。

转为浮点，除以RAND_MAX再乘上随机范围，再取整，开销还是加大了很多的。

不过减少连续随机，避免连续随机的干扰，还是应该尽可能做到。

@boyi

读死书是不可以的 :)
我相信以写程序为生的人 90% 都看过 TAOCP, 包括我这个天天写程序的人。

比如这个程序，只取了 2000 个随机数，就是在可接受范围内的。

如果认为不随机（这个程序生成的图片因为这个导致错误的说明了问题），可以写个程序做一下检验。

实际工程应用中，取模比“除以RAND_MAX 然后乘以128”用的多的多。是不是错误的用法要看用在怎样的环境。

解决随机性的问题，往往也不是把取模换成一对乘除法，而是换一个更好的随机数函数。比如将 rand()%128 换成 random()%128 （其实这个问题前面 Felix Wong 已经指出而我也解释过了）

最后这个程序写得有问题，随机数不是这么用的。不能取模，得除以RAND_MAX 然后乘以128,因为模128实际上是取了低7位，而一个随机数低位是不那么随机的，可以参看TAOCP,Knuth说过这个问题。

这个程序不是很严谨。

正确的做法是为x和y使用不同的random seed，才会“更”随机。

Posted by: Felix Wong
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人家随手写的,你找到破绽也别说出来,还想破了人家的牛B不成?

@yafare

对，是量子效应。不过具体我也不懂。物理系的人做的。

费了我好大的劲，总算算出来了。

你给出的数字都是正确的。

真随机数生成？说说看啥原理呢？

用到量子力学了么？

云风的说法是对的。在分母小的情况下，统计结果不会有任何问题。

我是最近在做大量数值的模拟，对这个比较敏感。我最近做的研究涉及至少千万量级的数据，伪随机函数模拟的结果大概有5%的误差。后来结果在实验室找了个真随机数生成设备解决问题。呵呵。

btw，那个好笑的错误我小时候也犯过…大概是初一刚会用c的时候吧。hoho

呵呵，这种事我小时候也干过。

楼下的似乎夸大了伪随机数列相继值之间的独立性问题。

用两个相继值取平面点的 x,y 最显著可见的问题是，对所需的随机数精度提高了一倍。在同一随机数产生器下，周期减少了一半。

正如前面我的回复中所提，1000 这个数量级下，影响是微乎其微的。

如正文中程序所呈现的，在 [0,128),[0,128) 平面上一致随机的取一点，等价于在 [0,128*128) 的一维空间上一致随机的取点。程序只是用了多一倍的比特数去取罢了。

既然提到 knuth ，自然应该读过 knuth 的书（btw, 按 knuth 自己的说法 linear congruential算法不是他首创的，他只是在他的书中总结）.

在 knuth 卷2 中，提到的统计校验方法里，谱检验就是一个重要方法。对于 2 维这个很低的维度上，我们应该信任系统提供的随机数做的足够好，足以通过 2 维的谱检验。

真要严格证明好坏的话，可以再写程序检验对比一下。

另外，random 固然可以得到更好的伪随机数列，但并非所有的 C 编译器默认带的标准库中都提供。例如 vc ;) 虽然我的工作都用 gcc 完成，但相信这里的读者中，vc 的用户占了更大的比例。

写到最后，突然想起几个月前公司内部一次 code review 中看到的一段让人哭笑不得的代码。

程序员被人抱怨说他的程序中生成的随机数不够随机。他想到程序库中生成的数列都是用个简单的公式递推的，这样前后邻接的数值岂不是都是相关的。

结果他对随机函数做了改进，每次调用随机数函数时都重新初始化随机种子，只使用数列的第一项。

哈哈哈，老家有个中学一群数学老师就是用这种策略集体买彩票的

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还真是搞笑呢....

为什么我说不能用同一个伪随机数生成x、y坐标呢？

一般来说，libc库的随机函数生成伪随机数的方法都是根据knuth的linear congruential算法。这个算法是通过一个周期很大的数列取得伪随机数。在同一个周期内，这个数列的数是不重复的。我们遇到重复的随机数，是因为在求随机数的时候有取值范围，所以在运算的时候通过求这个大数除以随机数的最大值的余数获得随机数。

假定这个伪随机数列 {a} 生成 uniformly distributed radom的整数。那么当取的数量 n->inf 的时候，取出的所有伪随机数的集合是整数集。如果这个伪随机数数列 {a} 按n, n+1分到两个数列上，很显然，不能保证这两个数列的数是uniformly random的。也不能保证xy平面上，获得的点是uniformly random的。因此，在严格的场合，这种做法是有问题的。严格的场合中，两个不同的随机函数生成的数列会比较好。

当然，一般的应用用标准库提供的随机数已经不错了。

另外要提出的一点是，随机数一般不推荐用rand。用random会较好。

有趣，头一次知道pbm这种东西

把上面程序编译，比如生成 a.exe

然后在控制台上输入 a.exe > r.pbm 就可以生成一个 r.pbm 文件了。

很多软件支持 pbm 格式的图片。例如 irfan view

文中"再用管道输出到一个 .pbm 图片文件中即可"我在网上百度，google了好久也没得出个所以然来，Cloud能不能具体说下怎么做的？

事件是互相独立的，在自然随机的情况下，输赢永远是个一半。但问题是现实中的赌场毕竟不是公益事业，搞了几十年，没陪没赚，就落了个验证自然随机的结果^_^
征途有个功勋精彩，有兴趣研究随机事件 没钱的可以去哪里转转 。。。
说起这个 网易最近是不是策划走光了 什么东西都在更征途学。。。就说最近的天降祝福活动 貌似跟征途前些时间开的福临门没什么区别。而且最近听说经常搞些恶心的事，缺少大企业的大气，给我的直觉就是丁磊也是个土鳖级的“企业家”。。。失望哦

其实策划希望玩家在一定随机尝试次数后就肯定能获得需要的东西，也无可厚非。

搞个最多多少次可以100%获得，然后整体的概率的数学期望又可以是策划要求的数值的函数也满有意思的，不知道有没有人研究。

“所以说，当你在打网络游戏时，如果某天发现某件装备的凋落率，或是合成率远低于官方公布的数字。请不要抱怨自己命不好，也不要怀疑系统作弊。”

这段太经典了，可策划们不这么认为，还非要程序员改“BUG”，要改成“绝对随机”的生成算法，我们有程序甚至真的用保存以往随机概率的方式生成下一步的概率，结果一塌糊涂

掷 30 次硬币，至少出现一次“连续 7 次正面”的概率有多少

这个命题和

掷 30 次硬币，前7次都是正面概率有多少

是否等价？赌博应该用的是后者吧？

骰子大神啊，请不要跟我绝交。谈谈数学而已，莫要当真

......不坚定的科学主义者

所有的赌博中，只有21点才有可能打败庄家，因为其他的游戏每次都是独立事件。

关于赌博中的数学问题，强烈推荐一本书《数学乐旅》(http://www.bullog.cn/blogs/laoyao/archives/20610.aspx)

某天发现某件装备的凋落率，或是合成率远低于官方公布的数字。这确实是命不好 啊

从 0 循环到 2^30 ，统计中间每个数值的2进制形式中有连续 0 的个数大于等于 5 的数字个数。

”如果是掷硬币实验，连续 21 次中，至少出现 5 次连续正面的概率居然达到了 49.9% 。当次数增加到 30 次后，概率有 71.4% 之高。“

怎么算出来的？我怎么计算的30次只有30%

哈哈哈，老家有个中学一群数学老师就是用这种策略集体买彩票的

无所谓的，没什么所谓更随机的。

真要分析的话，系统自带的随机函数的周期性是远大于 2000 的。

换用独立的随机数列的话，结果不会有太多变化。

这个程序不是很严谨。

正确的做法是为x和y使用不同的random seed，才会“更”随机。