除法的意义
可可已经在三年级下学期了，数学似乎还是有点问题。这个阶段考试成绩其实都不会太差，但一旦作业或考卷上的错题并非粗心大意就值得警惕。乘除法是二年级学的，三年级已经在学两位数除一位数的除法。但会计算并不难，计算只是一项机械性技能，难的是理解乘除法的意义。理解乘除比理解加减法困难的多。
我翻出几个月前的一篇 blog，发现过了 4 个月，她的问题依旧：乘除法作为一项计算技能和其背后的意义是割裂的。这导致了很多问题到底如何解决一筹莫展。固然多作练习就能开悟，毕竟几乎没有成人回头看小学数学会觉得难以理解的。但我还是想尽力搞清楚她的小脑袋里到底是哪打结了。
今晚讲一道相当简单的数学题：
有 96 个鸡蛋，8 个一盒装，可以装多少盒？
可可不知道如何解决这个问题，我一开始是很诧异的。我先反复确认她理解了题目的文本，并非语言理解的问题。真的是无法联想到应该使用除法这个工具，而 96 这个数字过大，即使不使用除法，也不知道该如何处理。我默不作声，让她仔细想想，她愣在那里不知所措，都急得掉眼泪了。
我决定一步步推演这个问题。
先问一个简单的版本：有 12 个鸡蛋，10 个一盒装，最多可以装满几盒？
我本以为她能一口答出，但可能是前面的问题受挫，她还是不知道如何下手。我想想，从桌游盒中找了一堆 token 和若干小碗，说你自己装碗试试吧。装完 12 个后，又把问题改成了 30 个，她重新摆弄了一次，这下明白了。
我说，现在要把道具收起来了，换成草稿纸，你该如何解决这个问题呢？
我教她用减法：用 30 - 10 = 20 ， 20 - 10 = 10 ，10 - 10 = 0 ；数一下一共减了 3 次。可可说，我知道了，其实不用数，只要看数字是几十，那么就是几盒了。
那么，回到一开始的问题，不是 10 个一盒而是 8 个一盒就不能直接看出来了，该怎么办呢？可可说那我也会：她从 96 - 8 = 88 开始一步步的做减法计算，很耐心的减到了 0 ，数了一下是 12 ，中间居然没有算错。
我说，96 / 8 = 12 ，并不真的要花这么多时间做减法。你其实会算除法，只是不知道除法有什么用。除法就是连续计算减法的次数，就好比乘法就是连续做多次加法一样。你需要把 token 一个个放进碗里的过程抽象化成数字写到草稿纸上，打草稿就是把脑子里想的东西具象化出来。这个过程借助数学符号可以更简单。数字是符号，加减乘除也是符号，符号能帮助你思考，但先要明白这些符号代表的道理。
我再换个问题：
有 80 个鸡蛋，8 个一盒装，可以装多少盒？
可可没犹豫，马上告诉我是 8 盒。我说你别着急，拿草稿纸仔细算一下。她算完不好意思的告诉我是 10 盒。我画了张矩形图，给她讲解了一下 8 x 10 = 10 x 8 的道理：10 行 8 个与 8 行 10 个其实只是图形旋转了一下，总数是一样的。
那么，从 96 个鸡蛋里先拿出 80 个装满 10 盒后，剩下的还可以装多少盒呢？她计算了一下 96 - 80 = 16 ，16 / 8 = 2 ；然后 10 盒与 2 盒合在一起也是 12 。
再看除法的竖式草稿，其实是一样的。
今天花了一个小时讲这道数学题（她的考卷上的错题），这次似乎真的懂了。