云风的 BLOG: 一个不简单的概率问题

我们办公室里放了四盒扑克，以前是在休息时玩一种扑克游戏用的。这种玩法需要 8 个人进行，同时用 4 副牌。玩完后我们洗乱放进了 4 个牌盒里。现在流行打桥牌，桥牌只用一副 52 张就够了，所以我决定清一副出来。清牌的时候，偷懒不想把 4 个牌盒里的牌全倒出来，然后我脑子里就出现了这么一个问题。

假设牌是完全洗乱，均匀随机分布在 4 个牌盒里的，而且每个盒子里都是均等的 54 张。那么需要打开几个牌盒，才能有很大几率（>90%）的保证从中得到一整副牌呢？

当时一个帮忙清牌的牌友说，大概打开 2 盒就够了。我的直觉告诉我，2 盒应该不够，3 盒应该勉强吧。但实际情况是，我们从 3 盒牌里只找到了独立的 53 张。第 54 张牌是从第 4 个盒子里找到的。

当时觉得这个概率问题很有趣，应该也不复杂。便在纸上划了一下。推导了如下公式：

假设有 n 盒洗乱的牌，当我打开其中的 m 盒，从中凑齐一副完整的概率应该是

(1- ( (n-m)/n )^n ) ^ 54

把 m=2 n=4 代入算了一下，概率只有 3%

m=3 n=4 的时候，概率有 81%

今天( 5 月 1 日)重新想了一下，这个问题并不简单。原因下面 zf 的留言里也写了。我的数学不是那么的好，推导公式恐怕比较麻烦。好在我们有 C 语言这个工具，我用 C 写了个程序求解：

#include "stdio.h"

#define CARD 54
#define N 4
#define M 3

static int assemble_table[N+1];
static double probability_table[CARD*N][CARD*N];

void init_probability_table()
{
    int i,j;
    for (i=0;i0) {
        for (i=n;i=0) {
        return probability_table[total-1][part-1];
    }
    if (part==N && total==N) {
        return 1;
    }
    p+=draw_ncard(total,part,N);
    for (i=N-1;i>=0;i--) {
        double t=draw_ncard(total,part,i);
        if (t!=0) {
            t*=probability(total-N,part-i);
            p+=t;
        }
    }
    probability_table[total-1][part-1]=p;
    return p;
}

double calc()
{
    int total=N*CARD;
    int part=(N-M)*CARD;
    double p=probability(total,part);
    return 1-p;
}

int main()
{
    init_assemble_table();
    init_probability_table();
    printf("%lf\n",calc());
    return 0;
}

程序写的很粗糙，不过能计算出答案就够了。代入 N=4 M=2 计算了一下，结果是 0.019088 N=4, M=3 时概率是 0.820296

跟前面那个错误公式得到的答案差不太多，我觉得原因是牌的张数(54) 远大于牌的分组的缘故。

引申一个可以被口算的题：有四张牌，两张大王两张小王，摸两张牌，摸到一对的可能性有多大？我问了好几个人，居然第一反应是 50% (._.!) 当然大家想过 1 分钟后，就可以得到正确的答案了。

Comments

原概率等价于（1-P（从N盒扑克发出去54*（N-M）张牌，其中有N张相同的牌的概率））。后式概率的通项公式应该能用54个的超几何分布的子式的和表达。即P（其中有4张红心A）+P（其中有4张方片A）*（1-P（其中有4张红心A））+………………

Posted by: XlperTxT | (17) February 8, 2021 02:26 PM

准确结果为 2220569736629156151741670901129196206150503104512/ 2707034400465566460140580464472215649960207011165

Posted by: Anonymous | (16) June 28, 2011 11:46 PM

应该是1/6吧？

Posted by: 妞妞 | (15) July 18, 2008 02:10 PM

好像一些分布式文件系统会有类似的算法：）前几天我和同事也计划过一个N台机器稳定存储M个文件的构架，用来保证换掉几台机器也不会丢失文件。

Posted by: arden | (14) November 13, 2007 08:25 AM

太值得学习了，概率问题应用于生活中。最后那个小问题应该是(P22+P22)/P24 = (2+2)/12 = 1/3 最近正好在复习概率，因为要考试了。

Posted by: benjaminsrj | (13) June 17, 2007 02:34 AM

c42 4×3/2 ，再除以2把。6/2

Posted by: dangel | (12) June 9, 2006 01:44 PM

1/3是对的.

Posted by: ywchen2000 | (11) May 26, 2006 06:01 PM

F(n, m) = n^54 * C(54*(m-1), 54*(n-1)) ---------------------------- C(54*m, 54*n) 不知道算对了没？

Posted by: kaikai | (10) May 19, 2006 08:35 PM

是个有趣的问题，我也写了简单的程序算这个的概率： #include"stdio.h" #include"stdlib.h" #define CARD 54 #define N 4 #define M 3 #define L 1 // N-M #define T 100000 #define RAND01 (rand()/(1.0+RAND_MAX)) int main() { int i, j, k; int tagCards[ N*CARD ]; float failed = 0; for(i=0; i<T; i++){ for(j=0; j<N*CARD; j++) tagCards[j] = 0; for(j=0; j<L*CARD; j++){ // draw cards: int ic = N*CARD * RAND01; while( tagCards[ic] ) ic = N*CARD * RAND01; tagCards[ic] = 1; // may check cards here for effeciency } for(j=0; j<CARD; j++){ // check cards: int sum = 0; for(k=0; k<N; k++) sum += tagCards[j*N+k]; if( sum == N ){ failed ++; break; } } } printf("succeeding probability = %f\n", 1-failed/T ); return 0; } 这是个超几何分布问题，我觉得其理论公式不大会像chinainvent给的这么简单的。

Posted by: phoolimin | (9) May 12, 2006 05:10 PM

本人算了一下,当(n-m)*54/n为一整数时,概率应为: (1-((n-m)/n)^n)^((n-m)*54/n)

Posted by: chinainvent | (8) May 11, 2006 12:39 PM

概率是:2/3对哇.

Posted by: lao_mage | (7) May 10, 2006 12:05 PM

呵呵我也学学云兄的 C 验证附加题[PS：显示问题，尖括号都改成了全角]： //用随机数来验证几率问题 #include ＜stdio.h＞ #include ＜stdlib.h＞ #include ＜time.h＞ static int cards[]={1,1,2,2}; void rand2Cards(int *c1, int *c2) { *c1 = rand()%4; do { *c2 = rand()%4; }while(*c2 == *c1);//No same } int main() { int testtimes = 100000; int successtimes = 0; int c1,c2; int i = 0; srand((unsigned)time(NULL)); //init seed while(i ＜ testtimes) { rand2Cards(&c1,&c2); if(cards[c1] == cards[c2]) ++successtimes; ++i; } printf("odds:%.4f",successtimes*1.0/testtimes); return 0; }

Posted by: Ninstein | (6) May 5, 2006 12:11 PM

“引申一个可以被口算的题：有四张牌，两张大王两张小王，摸两张牌，摸到一对的可能性有多大？” 是1/3吗？首先随意抽一张，不管花色几率为1 然后问题变成了在余下的3张里抽出那张与已经抽出的那张相同的牌几率1/3 数学不好不知道对不

Posted by: Ninstein | (5) May 5, 2006 11:22 AM

我看过你的书啊。忘了名字叫什么了，反正挺喜欢的。

Posted by: 厉害阿 | (4) May 2, 2006 08:03 PM

的确，这个公式不对。正确的公式应该很复杂。

Posted by: Cloud | (3) May 1, 2006 07:58 PM